付録A コーストダウン試験 | マルチコプタ制御入門

第4章の表に出てくる $J/C_Q = 335\ \mathrm{s\,rad}$ という数字がどうやって測られたのか、実際の波形を追いながら再現します。この試験のうれしさは、電気の知識（$K_e$ や $R$）を一切使わないことです。電源を切った後の世界には、慣性と空気しかいません。

A.1 原理 — 電源を切れば、残るのは慣性と空気だけ

回転中のプロペラの電源を突然切ると、電流はゼロになり、運動方程式はこれだけになります:

$$J\,\dot{\omega} = -C_Q\,\omega^2$$

これは変数分離ですぐ解けますが、もっと便利な形があります。両辺を $-J\omega^2$ で割ると:

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{\omega}\right) = -\frac{\dot\omega}{\omega^2} = \frac{C_Q}{J}$$

つまり $1/\omega$ を時間に対してプロットすると直線になり、その傾きがそのまま $C_Q/J$ です。カーブフィットの前に、「直線になるか」を目で確かめられる——同定ではこの形の見通しの良さが効きます。

A.2 セットアップ — 回転数は光で数える

回転数の計測には反射式フォトインタラプタ（発光と受光が並んだ素子。正面に反射物が来ると出力が変わる）を使い、プロペラに向けて固定します。ブレードが通過するたびに出力がへこみ、さらに1枚のブレード根元に貼った 反射テープが1回転に1回、ひときわ深いへこみを作ります。出力はオシロスコープで記録します。使うのは時刻情報だけなので、振幅の較正は不要です。

フォトインタラプタの生波形 — 図A-1: 生波形（定常回転中の約2.5回転分）。4枚のブレードが等間隔に4つのディップを作り、反射テープのディップだけが深い。テープの間隔 = 1回転の周期。

コラム — 4倍事件: 最初の解析では、深さのしきい値だけでパルスを数えたため、ブレードの4ディップを全部「テープ」と誤認し、回転数を 4倍に読んでいました。気づいたきっかけは物理量チェックです—— その回転数から出るモータの $K_v$ は 56,000 rpm/V。この級のモータの相場（数千〜1万台）から桁違いで、「解析がおかしい」と分かりました。対策は「深さのしきい値」ではなく「両隣のディップより深いものだけをテープと認める」という相対判定。数字が出たら、まず物理の相場と突き合わせる——同定の基本動作です。

A.3 ω(t) を復元する

テープパルスの時刻列 $t_k$ が取れれば、各回転の平均角速度は $\omega_k = 2\pi/(t_{k+1}-t_k)$ です。記録全体に適用すると:

復元したω(t) — 図A-2: 復元した ω(t)。Duty 10% で回して定常（1209 rad/s）に達した後、電源をカット。以降が解析に使う「コーストダウン」区間。

A.4 1/ω は直線になる——はずが、反っている

1/ωのフィット — 図A-3: コースト区間の 1/ω。緑の破線が「空力だけ」の直線。実測（青点）は後半（低速側）で上に反っていく。赤線はクーロン摩擦まで含めた 3項モデル $\dot\omega = -a\omega^2 - b\omega - c$ のフィット。

よく見ると、実測は直線から上に反っています。犯人は軸受などの クーロン摩擦（速度によらない一定トルク $\tau_c$）です。摩擦を含めた運動方程式で書き直すと:

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{\omega}\right) = \frac{C_Q}{J} + \frac{\tau_c/J}{\omega^2}$$

第2項は $\omega$ が小さくなるほど効くので、減速の後半で直線から外れる—— 図の反りはこの式の署名そのものです。そこで直線ではなく 3項モデルを全域フィットすると、$J/C_Q = 1/a \approx 333\ \mathrm{s\,rad}$ と摩擦 $\tau_c \approx 9.4\times10^{-6}\ \mathrm{N\,m}$ が同時に得られます（本編の確定値 335 は前処理の細部が異なる解析で、差は1%未満）。安易に「直線の傾き」を全域で取ると、摩擦の分だけ傾きが水増しされ、 $J/C_Q$ を4割も小さく見積もってしまいます——モデルの外にある物理は、無視すると必ず数字を曲げます。

A.5 結果と使い道

$J/C_Q = 335\ \mathrm{s\,rad}$（3項フィット・確定値）、 $\tau_c \approx 9.5\times10^{-6}\ \mathrm{N\,m}$
$C_Q = 4.10\times10^{-11}$（ベンチ実測）と合成して $J_{mp} = 1.375\times10^{-8}\ \mathrm{kg\,m^2}$—— 付録Bの写真法・分解実測と独立に照合できる
ヨー軸の零点 $\tau_z = J_{mp}/(2C_Q\omega_0)$（第4章）は実は $J/C_Q$ だけで決まる: $\tau_z = (J/C_Q)/(2\omega_0) = 45.7\ \mathrm{ms}$

データ: data/stampfly_prop_round_test.wfm（2秒 Duty10% → カット）。解析の再現: notes/calc/coastdown_id.py（本解析）、 notes/calc/make_appendix_figs.py（本ページの図）。