付録B 写真から慣性モーメント | マルチコプタ制御入門

重さ 0.235 g のプロペラの慣性モーメントを、どうやって測るか。捻り振子にかけるには軽すぎ、CAD データはありません。答えは真上から写真を撮って、画素を数える—— デジタルカメラをそのまま測定器にする方法です。

B.1 原理 — 慣性モーメントは「r² の平均」

慣性モーメントの定義は $I = \int r^2\,dm$。プロペラのように薄くて厚みがほぼ一様な部品なら、質量は面積に比例して分布する（$dm = (M/A)\,dA$）ので:

$$I = \frac{M}{A}\int r^2\,dA = M\,\langle r^2\rangle$$

つまり総質量 ×「面積で平均した $r^2$」。そして写真の1画素は面積の1標本ですから、部品に属する画素を $N$ 個集めれば:

$$I \approx \frac{M}{N}\sum_{i=1}^{N} r_i^2$$

積分が「画素の $r^2$ を足して割るだけ」になります。これを画素直接積分と呼ぶことにします。形の近似（長方形・台形など）を一切挟まないのがポイントです。

画素直接積分の考え方。1画素=面積の1標本。中心から遠い画素は $r^2$ で重く数えられるので、翼端の形が正確に効いてくる——形を長方形などで近似すると、ここが狂う。

B.2 手順 — 撮る、塗り分ける、数える

撮影: プロペラを定規と一緒に、できるだけ真上から撮ります。定規の目盛りから「1画素 = 何mm」のスケールを決めます（視差を抑えるため離れて望遠気味に撮るのがコツ）。
セグメンテーション（画像を領域に塗り分ける処理）: 色の違いを使って、ハブ（中心の円盤）とブレードを画素単位で分類します。
数える: 重心（=回転中心）を求め、各部品の画素について $r_i^2$ を平均します。

元の写真（定規つき上面） — 図B-1: 元の写真。プロペラを定規と一緒に真上から撮っただけ—— これが測定の「生データ」のすべて。定規の目盛りで 1画素=何mm かを較正する。

図B-2: セグメンテーション結果。青=ブレード、黄=ハブ。この塗り分けの画素を数えるだけで $\langle r^2\rangle$ が出る。

B.3 2つの仕上げ — 投影補正と、部品ごとの質量

投影補正: ブレードは取付角（ピッチ角）だけ傾いて付いているので、真上からの写真では翼弦方向が $\cos$（取付角）だけ縮んで写ります。刻印「1209」（直径 31 mm・ピッチ 0.9 インチ）から各半径の取付角を計算し、画素の面積重みを補正します。

質量の割り当て: ハブとブレードは厚みが違うので、「全体で一様」とは仮定せず、ハブ 0.140 g・ブレード 0.095 g（4枚合計）を個別に秤量して、それぞれの $\langle r^2\rangle$ に割り当てます。ハブは中心付近にいるので $r^2$ が小さく、慣性への寄与はわずか—— 効くのはブレード、特に翼端側です。

コラム — スライス法の +43% バグ: 最初の推定では、ブレードを半径方向の短冊（スライス）に切って $\sum (w r^2 + w^3/12)\,$ 型の式で積んでいました。ところが第2項 $w^3/12$ は「まっすぐな棒を横に見たとき」の翼弦方向の広がりの項で、回転軸まわりの環状スライスには不要です。これを入れていたせいで +43% の過大評価になっていました。画素直接積分は定義どおりの $\int r^2 dA$ なので、この種の「式の当てはめ間違い」が起きません。手法を変えて照合する価値はここにあります。

B.4 結果と照合

プロペラ: $J_{prop} = 1.030\times10^{-8}\ \mathrm{kg\,m^2}$（本法）
回転子（モータ内部）: $J_{rotor} = 3.45\times10^{-9}\ \mathrm{kg\,m^2}$ ——こちらはモータを分解し、コイルかご（外径6mm・肉厚0.65mm・高さ12.4mm のコップ形状、総質量0.58g）の実測寸法から計算
合計 $J_{mp} = 1.375\times10^{-8}\ \mathrm{kg\,m^2}$。付録Aのコーストダウン（$J = C_Q \cdot (J/C_Q) = 1.37\times10^{-8}$）と 独立な方法どうしで一致——ここまで来て初めて数字を信じられる

データ: assets/IMG_3579.JPG（定規つき上面写真。図B-1はその縮小版）。質量はデジタル秤で実測（ハブ 0.140 g、ブレード 0.02375 g × 4）。解析の再現: notes/calc/prop_inertia_photo.py（セグメンテーションと積分）、 notes/calc/rotor_inertia_specs.py（回転子）。