マルチコプタ制御入門 — 第4章

モータとプロペラ

数字はどこから来るか — 同定・時定数・ヨー軸のダイナミクス

ここまでの章で、\(C_T\)、\(C_Q\)、\(J_{mp}\)、モータの時定数……といった数字を 当たり前のように使ってきました。しかしこれらの値は、 ホビー用の小さなモータやプロペラのカタログには載っていません。 では、どこから来たのか。答えは「自分で測る」です。この章では StampFly のモータと プロペラのモデルを組み立てながら、それぞれのパラメータが どんな実験で得られたのかを紹介します。教科書の式に入っている数字は、 すべて誰かが工夫して測ったものだ——それがこの章の裏テーマです。

4.1 モータ+プロペラのモデル

StampFly のモータは 1 セル LiPo で駆動されるコアレスブラシ付き DC モータです （コアレスモータでは、鉄心がなくコイルのカゴ自体が回転します）。 電気系と機械系の 2 本の微分方程式で書けます:

$$\underbrace{L\,\frac{di}{dt} = V\cdot\mathrm{Duty} - R\,i - K_e\,\omega}_{\text{電気系（巻線）}} \qquad \underbrace{J\,\dot{\omega} = K_t\,i - C_Q\,\omega^2}_{\text{機械系（回転子+プロペラ）}}$$

\(K_e\) は逆起電力定数（回るほど電圧を押し返す）、\(K_t\) はトルク定数 （SI 単位系では \(K_t = K_e\)）、\(C_Q\omega^2\) はプロペラの空力負荷トルク—— 第2章で登場した「空気の反作用」そのものです。

4.2 パラメータはこうして測られた

パラメータ値測り方
\(R,\ L\)0.593 Ω / 0.788 µH LCR メータで巻線インピーダンスを計測（周波数依存損失は Foster 型回路で表現）
\(K_e\ (=K_t)\)\(5.68\times10^{-4}\) V·s/rad コーストダウン中の開回路逆起電力を直接測定（下の実測例参照。 LAN/SCPI 経由のオシロ公式換算で取得し、電池電圧とボディダイオードのクランプ電圧で 二重検証）。別個体の無負荷 電圧–回転数実測（\(5.35\)〜\(5.53\times10^{-4}\)）とも 数%＝個体差の範囲で整合 →付録C
\(C_T\)\(6.7\times10^{-9}\ \mathrm{N/(rad/s)^2}\) ベンチの推力実測（Duty0.1 → 1.00 gf）×フォトインタラプタの回転数実測 （同 Duty で 1209 rad/s）のペアから \(C_T = T/\omega^2\)
\(C_Q\)\(4.10\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m\,s^2/rad^2}\) コーストダウン試験（電源カット後の惰性減速、\(1/\omega\) の傾き）で \(J/C_Q = 335\) を直接測定し、下の \(J\) と合成 →付録A
回転子の慣性 \(J_{rotor}\)\(3.45\times10^{-9}\ \mathrm{kg\,m^2}\) モータを分解し、コイルかご（外径6mm・肉厚0.65mm・高さ12.4mm の コップ形状）と鉄軸の実測寸法・質量0.58gから計算
プロペラの慣性 \(J_{prop}\)\(1.03\times10^{-8}\ \mathrm{kg\,m^2}\) 上面写真から外形をデジタイズし画素直接積分（\(I=M\langle r^2\rangle\)）、 刻印 1209（ピッチ0.9インチ）による取付角の投影補正込み。 質量はハブ・ブレードを個別に秤量。旧値 \(2.01\times10^{-8}\)（ブレード切り分け・ 長方形近似）を2026-07の再推定で置き換え →付録B
機体の慣性 \(I_{xx}, I_{yy}, I_{zz}\)\((9.16,\ 13.3,\ 20.4)\times10^{-6}\) 2点吊り法: 機体を2本の紐で吊り、捻り振子の周期から算出（下図） →付録D
 StampFly のパラメータと同定方法（モータドライバ論文および機体同定より）
紐の長さ L 吊り間隔 2b 水平に少し捻って離す → 捻り振動の周期 T を測って　I = m·g·b²·T² / (4π²·L)
2点吊り法（バイファイラ振子）: 機体を同じ長さ \(L\) の2本の紐で間隔 \(2b\) で吊り、 水平面内で少し捻って離すと、重力を復元力とする捻り振動が起きる。 周期 \(T\) を（複数周期の平均で）測れば、吊った軸回りの慣性モーメントが \(I = \dfrac{m g b^2 T^2}{4\pi^2 L}\) で得られる。ヨー軸なら水平姿勢のまま、 ロール・ピッチ軸ならその軸が鉛直になる向きに吊り替えて測る。
実測例 — 電流を測らずに \(K_e\) を決める: モータの電源を切った瞬間から、電流はゼロ、それでもモータは惰性で回り続けます。 電流がゼロなら端子電圧は逆起電力そのもの——つまりコーストダウン中の端子電圧は \(V = V_{BAT} - K_e\,\omega\) に従います。フォトインタラプタで \(\omega(t)\)、 オシロスコープで端子電圧を同時記録し、\(V\)–\(\omega\) 散布図を描くと 見事な直線になり（R² = 0.9995）、傾きがそのまま \(K_e = 5.68\times10^{-4}\)、 切片が電池電圧になります。電流計もトルク計も不要で、抵抗 \(R\) の値にすら 依存しない——「測りたい量だけが残る条件を作る」測定の好例です。
コラム — 数字を疑う（そして測り直す）: 実はこの表の値は、一度大きく訂正されています。以前の推定は \(J_{prop}=2.01\times10^{-8}\)・\(J_{rotor}=3.30\times10^{-8}\) で、前身機 AtomFly の モータ値との混同や桁の取り違えが疑われました。決着をつけたのは3つの独立な再測定です: ①ブレードの通過を反射式フォトインタラプタで非接触検出し、電源カット後の 惰性減速（コーストダウン）から \(J/C_Q\) を電気モデルなしで直接測定、 ②プロペラの上面写真をデジタイズして画素直接積分（質量は秤量）、 ③分解した回転子の実測寸法から計算。3つの結果は互いに整合し、 旧値は「プロペラ2倍・回転子10倍」の過大だったと確定しました。 興味深いことに、飛行制御ソフトが昔から使っていた時定数 20 ms は、この確定値から 出る約 18 ms とほぼ一致——正しかったのは古いドキュメントではなく古いコード だったわけです。同定とは一度やって終わりではなく、矛盾が見つかるたびに測り直す営みです。 これらの測定の実際の波形・写真・図解は付録A〜 D にまとめました。

4.3 二つの時定数 — なぜ「一次遅れ」で済むのか

4.1 節のモデルには微分方程式が 2 本あるのに、これまで「モータは一次遅れ」と 扱ってきました。その根拠は時定数の分離です:

$$\tau_e = \frac{L}{R} = 1.33\ \mathrm{\mu s} \qquad\ll\qquad \tau_m = \frac{J\,R}{K_t K_e} \approx 25\ \mathrm{ms}$$

約 2 万倍の開きがあります。電流は回転数から見れば「一瞬で」定常に達するので、 電気系の式を \(i \approx (V\cdot\mathrm{Duty} - K_e\omega)/R\) と代数式に潰してよく、 残る機械系だけの一次系になります。運動制御で注目すべきは機械的時定数—— 第2章から使ってきた「モータの一次遅れ」の正体です。

ホバリング点まわりで線形化すると、実効時定数と減衰の内訳が見えます:

$$\tau_{eff} = \frac{J}{\underbrace{K_t K_e / R}_{\text{逆起電力ブレーキ 64\%}} + \underbrace{2 C_Q \omega_0}_{\text{プロペラ空力 36\%}}} \approx 16\ \mathrm{ms}$$

面白いのは減衰の内訳です。回転数の変化を押しとどめているのは、プロペラの空気抵抗 だけではなく、逆起電力による電気ブレーキが6割強を占めています。 モータは加速器であると同時に、自前のダンパでもあるのです。 なおこの実効時定数は動作点に依存します——低回転・低Duty（電流が流れる時間が短く 電気ブレーキが効かない）では 100 ms 超まで伸びることが、コーストダウン試験と 同時に行ったステップ応答の実測（Duty 10% で 63% 立ち上がり 0.20 s）で確認されています。

4.4 ヨー軸の伝達関数 — 積分器＋零点＋一次遅れ

第2章で「反トルクは二つの物理現象」と学びました。これを伝達関数にすると、 二つの現象が数式の中のどこに座るかが見えます。ヨー指令でモータ角速度を \(\Delta\omega\) だけ割る（CW を下げ CCW を上げる）ときの反トルクは、線形化すると

$$\Delta\tau = \underbrace{4 J_{mp}\,\Delta\dot{\omega}}_{\text{加速の反トルク}} + \underbrace{8 C_Q \omega_0\,\Delta\omega}_{\text{空気の反作用}}$$

モータの一次遅れ \(\Delta\omega(s) = \Delta\omega_{cmd}(s)/(\tau_{eff}\,s+1)\) と、 機体ヨー軸の積分 \(r(s) = \Delta\tau(s)/(I_{zz}\,s)\) をつなぐと:

$$\frac{r(s)}{\Delta\omega_{cmd}(s)} = K\cdot\frac{\tau_z\,s + 1}{s\,(\tau_{eff}\,s + 1)}, \qquad \tau_z = \frac{J_{mp}}{2 C_Q \omega_0} \approx 46\ \mathrm{ms}$$

積分器＋零点＋一次遅れ。分子の零点 \(\tau_z s + 1\) の正体が 「加速の反トルク」です。空気の反作用だけなら積分器＋一次遅れで終わるところに、 \(J_{mp}\Delta\dot\omega\) の項が分子に \(s\) を持ち込んで零点を作ります。 \(\tau_z > \tau_{eff}\) なので位相進み特性となり、ステップ指令の瞬間には 定常の約 2.8 倍のトルクが立ち上がって、モータの回転数が落ち着くにつれて 空気のトルクに引き継がれます。

頑健な構造: 倍率 \(\tau_z/\tau_{eff} = 1 + K_tK_e/(R\cdot 2C_Q\omega_0) \approx 2.8\) は \(J_{mp}\) に依存しません（分子と分母の \(J\) が約分されるため）。 「加速の反トルクが立ち上がりを担い、初期に定常の数倍のトルクが出る」という構造は、 慣性の測定誤差の影響を受けない結論です。\(J_{mp}\) が変わると \(\tau_z\)・\(\tau_{eff}\) の絶対値（応答の速さ）だけが伸び縮みします。 下の教材の \(J_{mp}\) スライダーで、これを確かめてみてください。

4.5 体感する: ヨー応答と零点

ヨー指令（CW/CCW の回転数割り）をステップで入れたときの反トルクの内訳と ヨー角速度の応答です。「加速の反トルク（零点）」のチェックを外すと、 立ち上がりの鋭さがどう失われるかを見てください。 \(J_{mp}\) スライダーは測定誤差の範囲（±15%程度）で動かせます—— 波形は伸び縮みしても、形（比率）は変わりません。

条件: ヨー割り \(\Delta\omega_{cmd} = 180\ \mathrm{rad/s}\)（ホバ回転数の約5%）のステップ。 モデルと数値は本文と同一（\(C_Q = 4.10\times10^{-11}\), \(K_e = K_t = 5.68\times10^{-4}\), \(R = 0.593\ \Omega\), \(I_{zz} = 2.04\times10^{-5}\ \mathrm{kg\,m^2}\)）。 機体側のヨー空力減衰は無視（純粋な積分器）。

まとめ

道具立てが揃いました。次章ではいよいよ制御に入ります—— レート制御から始めて、PID でマルチコプタの姿勢を安定させます。

データの出所: 電気系（R/L/Ke）はモータドライバ論文の同定値。 \(C_T\)・\(C_Q\)・\(J\) は2026年7月の再測定 （ベンチ推力×フォトインタラプタ回転実測、コーストダウン試験、写真デジタイズ、 回転子実測諸元）。機体慣性は2点吊り法による実測。 計算の再現は notes/calc/ の coastdown_id.py, prop_inertia_photo.py, rotor_inertia_specs.py。